第 14 章 使用复数运算库

复数是由实部和虚部组成的数。例如：

3.2 + 4i 1 + 3i 1 + 2.3i

在特例情况下，如 0 + 3i 是纯虚数，通常写为 3i；5 + 0i 是纯实数，通常写为 5。可以使用 complex 数据类型来表示复数。

复数运算库 (libcomplex) 仅可用于兼容模式 ( -compat[ =4])。在标准模式（缺省模式）下，C++ 标准库 libCstd 附带具有类似功能的复数类。

14.1 复数库

复数运算库以新的数据类型实现复数数据类型，并提供：

• 运算符

• 数学库函数（为内建数字类型定义）

• 扩展（用于允许复数输入和输出的 iostream）

• 错误处理机制

复数也可表示为绝对值（或幅度）和参数（或角度）。该库提供了在实部虚部（笛卡尔）表示形式和幅度角度（极）表示形式之间进行转换的函数。

数字复共轭的虚部中有相反符号。

14.1.1 使用复数库

要使用复数库，应在程序中包含头文件 complex.h，并使用 -library=complex 选项进行编译和链接。

14.2 complex 类型

复数运算库定义了一个类：complex 类。complex 类的对象可以存放一个复数。复数由两部分构成：

• 实部

• 虚部

class complex {
    double re, im;
};

complex 类的对象值是一对 double 值。第一个值表示实部，第二个值表示虚部。

14.2.1 complex 类的构造函数

有两个用于 complex 的构造函数。它们的定义是：

complex::complex()            {re=0.0; im=0.0;}
complex::complex(double r, double i = 0.0) {re=r; im=i;}

如果声明复数变量时没有指定参数，则会使用第一个构造函数并初始化变量，因此两个部分都为 0。以下示例创建了一个其实部和虚部均为 0 的复数变量。

complex aComp;

您可以给定一个或两个参数。无论是以上哪种情况，都将使用第二个构造函数。如果只给定一个参数，该参数将作为实部的值，而虚部的值设置为 0。例如：

complex aComp(4.533);

用下列值创建一个复数变量：

4.533 + 0i

如果给定了两个值，第一个值被视为实部的值，而第二个值被视为虚部的值。例如：

complex aComp(8.999, 2.333);

用下列值创建一个复数变量：

8.999 + 2.333i

也可以使用复数运算库中提供的 polar 函数（请参见14.3 数学函数）创建复数。polar 函数根据给定的极坐标幅度和角度创建复数值。

没有用于 complex 类型的析构函数。

14.2.2 算术运算符

复数运算库定义了所有基本的算术运算符。具体来说，以下运算符按一般方法和普通的优先级工作：

+ - / * =

减法运算符 (-) 具有其通常的二元和一元含义。

此外，您可以按通常的方法使用以下运算符：

• 加法赋值运算符 (+=)

• 减法赋值运算符 (-=)

• 乘法赋值运算符 (*=)

• 除法赋值运算符 (/=)

但是，若将以上四个运算符用于表达式，则不产生任何值。例如，下列表达式无法进行运算：

complex a, b;
...
if ((a+=2)==0) {...}; // illegal
b = a *= b; // illegal

另外还可以使用等号 (==) 和不等号 (!=)，它们具有常规含义。

将运算表达式中的实数和复数混合时，C++ 使用复数运算符函数并将实数转换为复数。

14.3 数学函数

复数运算库提供了许多数学函数。一些是专用于复数的，而其余的则是标准 C 数学库中函数的复数版本。

全部这些函数为每个可能的参数产生结果。如果函数无法生成具有数学意义的结果，它就调用 complex_error 并返回适用的某值。具体来说，这些函数会尽量避免实际的溢出，而是调用 complex_error 并显示消息。下表描述了复数运算库函数的提示。

sqrt 和 atan2 函数的实现遵循 C99 csqrt 附录 G 规范。

14.4 错误处理

复数库具有以下用于错误处理的定义：

extern int errno;
class c_exception {...};
int complex_error(c_exception&);

外部变量 errno 是来自 C 库的全局错误状态。errno 可以为标准头文件 errno.h 中所列值（请参见 perror(3) 手册页）。没有任何函数会将 errno 设置为零，但有许多函数会将它设置为其他值。

要分辨特定运算是否失败：

1. 在运算前将 errno 设置为零。

2. 测试运算。

函数 complex_error 采用对类型 c_exception 的引用并由下列复数运算库函数调用：

• exp

• log

• log10

• sinh

• cosh

缺省版本的 complex_error 返回零。这个零值的返回意味着发生了缺省的错误处理。可以提供自己的替换函数 complex_error，以执行其他错误处理。cplxerr(3CC4) 手册页中介绍了错误处理。

cplxtrig(3CC4) 和 cplxexp(3CC4) 手册页中介绍了缺省的错误处理，下表中也进行了简要介绍。

14.5 输入和输出

复数运算库提供了用于复数的缺省提取器和插入器，如以下示例所示：

ostream& operator<<(ostream&, const complex&); //inserter
istream& operator>>(istream&, complex&); //extractor

有关提取器和插入器的基本信息，请参见13.2 iostream 交互的基本结构和13.3.1 使用 iostream 进行输出。

对于输入，复数提取器 >> 从输入流中提取一对数（用圆括号括住，并由逗号分隔开），并将其读入复数对象。第一个值被视为实部的值，而第二个值被视为虚部的值。例如，给定声明和输入语句：

complex x;
cin >> x;

以及输入 (3.45, 5)，则 x 值等于 3.45 + 5.0i。对插入器来讲反向为真。如果给定 complex x(3.45, 5)，cout<<x 将输出 (3.45, 5)。

输入通常由括号中的一对数值（由逗号分隔）组成，也可选择空格。如果您提供一个单一数值（具有或不具有括号和空格），那么提取器会将数值的虚部设置为零。不要将符号 i 包括在输入文本中。

插入器会插入括号中实部和虚部的值（由逗号分隔）。它不包括符号 i。这两个值都视为 double。

14.6 混合模式运算

类型 complex 专门用于处理混合模式表达式中的内置运算类型。运算类型会缺省转换为 complex 类型，而且算术运算符和大多数数学函数都有 complex 版本。例如：

int i, j;
double x, y;
complex a, b;
a = sin((b+i)/y) + x/j;

表达式 b+i 是混合模式。整数 i 通过构造函数 complex::complex(double,double=0) 转换为类型 complex（整型数先是转换为类型 double）。所得结果除以 double 类型的 y，因此 y 也转换为 complex 且使用了复数除法运算。这样，得到的商是 complex 类型，因此调用复数正弦例程，从而生成另一个 complex 结果等。

但是，并非所有的数学运算符和转换都是暗示的（即使定义）。例如从数学角度，复数未较好排序，只能比较等式。

complex a, b;
a == b; // OK
a != b; // OK
a <  b; // error: operator < cannot be applied to type complex
a >= b; // error: operator >= cannot be applied to type complex

同样，由于未明确定义概念，因此不会自动将类型 complex 转换为其他类型。您可以指定是否需要实部、虚部或幅度。

complex a;
double f(double);
f(abs(a)); // OK
f(a);      // error: no match for f(complex)

14.7 效率

设计 complex 类主要为了提高效率。

最简单的函数声明为 inline，以消除函数调用开销。

在函数不同时就会提供函数的多个开销版本。例如，pow 函数有多个版本，分别取类型为 double 和 int 以及 complex 的指数，而前者的运算简单得多。

在包含 complex.h 时，会自动包含标准 C 数学库头文件 math.h。然后 C++ 开销规则就会产生类似于下面的表达式效率评估：

double x;
complex x = sqrt(x);

在此示例中，调用了标准数学函数 sqrt(double)，且结果转换为 complex 类型，而不是先转换为 complex 类型再调用 sqrt(complex)。该结果转向重载决策规则的外部，正好是您所希望的结果。

14.8 复数手册页

复数运算库的剩余文档由下表所列的手册页组成：