2.2.6 十进制表示法的范围和精度
本节讨论给定存储格式的范围和精度概念。本节包含的范围和精度与 IEEE 单精度格式、双精度格式和四倍精度格式以及与 x86 体系结构上 IEEE 双精度扩展格式的实现相对应。为了具体起见，我们用 IEEE 单精度格式来定义范围和精度概念。
IEEE 标准指定使用 32 位来表示单精度格式的浮点数。由于 32 个零和一的组合是有限的，所以使用 32 位仅能表示有限个数字。
于是会出现这样一个很自然的问题：使用这种特定格式表示最大和最小正数的十进制表示法是什么？
下面我们将这一问题改述来引入范围的概念：在十进制概念中，使用 IEEE 单精度格式可以表示的数字的范围是什么？
考虑到 IEEE 单精度格式的准确定义，我们可以证明使用 IEEE 单精度格式可以表示的浮点数的范围（在限定在正的正规化数的基础上）如下所示：
1.175...× (10-38) 到 3.402... ×(10+38)
第二个问题涉及到用给定格式表示的数字的精度。 我们将通过一些图片和示例来解释这些概念。
二进制浮点计算的 IEEE 标准指定可以用单精度格式表示数字值集。请记住，我们将这种数字值集解释为二进制浮点数字集。IEEE 单精度格式的有效数字有 23 位，加上隐式前导位，可以得到 24 位（二进制）精度。
用户通过在数轴上标记数字（可以表示为 q 个用有效数字表示的十进制数字）可获得不同的数值集：
x = (x1.x2 x3...xq) × (10n)
下图演示的就是这种情况：
图 2-5 使用数字表示法和二进制表示法定义的数字集比较
请注意，两个数字集是不同的。因此，要估算相对于 24 位有效二进制数字的有效十进制数字的数量，需要将该问题换一种形式表示。
根据在二进制表示法（计算机使用的内部格式）与十进制格式（用户通常使用的格式）之间转换浮点数的方法，重新组织该问题。事实上，您可能希望先从十进制转换为二进制，然后再转换为十进制，或者先从二进制转换为十进制，然后再转换为二进制。
需要记住的要点是，一般来说，由于数字集不同，转换是不精确的。在正确执行的情况下，将一个集中的数字转换为另一个集中的数字，会导致选择第二个集中两个相邻数字中的一个（确切来说，这是一个与舍入相关的问题）。
我们来考虑一些示例。假定要用以下 IEEE 单精度格式的十进制表示法表示数字：
x = x1.x2 x3... × 10n
由于只能使用 IEEE 单精度格式精确表示有限的实数，而这其中并没有包含所有上述形式的数字，所以一般来说，是无法精确表示这些数字的。例如，使
y = 838861.2，z = 1.3
并运行以下 Fortran 程序：
REAL Y, Z
Y = 838861.2
Z = 1.3
WRITE(*,40) Y
40 FORMAT("y: ",1PE18.11)
WRITE(*,50) Z
50 FORMAT("z: ",1PE18.11)
该程序的输出应与以下内容类似：
y: 8.38861187500E+05 z: 1.29999995232E+00
赋予 y 的值 8.388612 × 105 与输出的值之差是 0.000000125，它比 y 小七个数量级。用 IEEE 单精度格式表示 y 的精确度约为 6 到 7 位有效数字，也就是说，如果要表示为 IEEE 单精度格式，y 大约有六位有效数字。
同理，赋予 z 的值 1.3 与输出的值之差是 0.00000004768，它比 z 小八个数量级。用 IEEE 单精度格式表示 z 的精确度约为 7 到 8 位有效数字，也就是说，如果要表示为 IEEE 单精度格式，z 大约有七位有效数字。
假定将十进制浮点数 a 转换为其 IEEE 单精度格式二进制表示法 b，然后将 b 再转换为十进制数 c；那么，a 与 a - c 之间相差多少数量级呢？
我们将这一问题改述如下：
用 IEEE 单精度格式表示法表示的 a 的有效十进制数字数是多少，或当我们用 IEEE 单精度格式表示 x 时，有多少十进制数可以被当作是精确的？
有效十进制数字数总是介于 6 和 9 之间，也就是说，最少 6 个，但不超过 9 个数字是精确的（除去例外情况，例如，当转换是精确的情况，当有无限多的数字可以是精确的情况）。
反过来，如果将用 IEEE 单精度格式表示的二进制数转换为十进制数时，然后再转换为二进制，一般来说，您需要使用至少 9 位十进制数，以确保在经过两次转换后，能够获得转换前的数字。
Table 2–10 列出了这一问题的完整说明：
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